Основные формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

Основное тождество

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Фундаментальное соотношение между синусом и косинусом одного угла.

Тангенс и котангенс

\(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)

Производные тождества

\(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\)
\(1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}\)

Формулы сложения и вычитания углов

Синус суммы и разности

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\)

Косинус суммы и разности

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

Тангенс суммы и разности

\(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\)
\(\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)

Формулы кратных углов

Двойной угол

\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)
\(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha\)
\(\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\)

Тройной угол

\(\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha\)
\(\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha\)
\(\tan 3\alpha = \dfrac{3\tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3\tan^2 \alpha}\)

Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы

Суммы синусов и косинусов

\(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
\(\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
\(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)

Произведения в суммы

\(2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\)
\(2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\)
\(2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\)

Формулы понижения степени и универсальная подстановка

Понижение степени

\(\sin^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\)
\(\cos^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\)
\(\sin^3 \alpha = \dfrac{3\sin \alpha - \sin 3\alpha}{4}\)
\(\cos^3 \alpha = \dfrac{3\cos \alpha + \cos 3\alpha}{4}\)

Универсальная тригонометрическая подстановка

Пусть \(t = \tan \dfrac{\alpha}{2}\), тогда:

\(\sin \alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}\)
\(\cos \alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}\)

Обратные тригонометрические функции (аркфункции)

Определения и основные свойства

Функция Обозначение Определение Область определения Область значений
Арксинус \(\arcsin x\) или \(\sin^{-1} x\) \(\sin y = x\) \(x \in [-1, 1]\) \(y \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\)
Арккосинус \(\arccos x\) или \(\cos^{-1} x\) \(\cos y = x\) \(x \in [-1, 1]\) \(y \in [0, \pi]\)
Арктангенс \(\arctan x\) или \(\tan^{-1} x\) \(\tan y = x\) \(x \in \mathbb{R}\) \(y \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)
Арккотангенс \(\text{arccot } x\) или \(\cot^{-1} x\) \(\cot y = x\) \(x \in \mathbb{R}\) \(y \in (0, \pi)\)

Основные соотношения для аркфункций

\(\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}\)
\(\arctan x + \text{arccot } x = \dfrac{\pi}{2}\)
\(\arcsin(-x) = -\arcsin x\)
\(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\)
\(\arctan(-x) = -\arctan x\)
\(\sin(\arcsin x) = x, \quad x \in [-1, 1]\)
\(\arcsin(\sin x) = x, \quad x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(\cos(\arccos x) = x, \quad x \in [-1, 1]\)
\(\arccos(\cos x) = x, \quad x \in [0, \pi]\)

Тригонометрические тождества с аркфункциями

\(\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}\)
\(\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}\)
\(\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\(\sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\)

Свойства логарифмов

\((a>0,\; a\neq1,\; b>0,\; c>0,\; m,n\in\mathbb{R})\)

№ Формула № Формула
1 \(a^{\log_a b}=b\) 9 \(\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b\)
2 \(b=a^{\log_a b}\) 10 \(\log_{1/a} b=-\log_a b=\log_a b^{-1}\)
3 \(\log_a a=1\) 11 \(\log_{a^m} b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b\)
4 \(\log_a 1=0\) 12 \(\log_{a^m} b^m=\log_a b\)
5 \(\log_a a^k=k\) 13 \(\log_a (bc)=\log_a b+\log_a c\)
6 \(k=\log_a a^k\) 14 \(\log_a b+\log_a c=\log_a (bc)\)
7 \(\log_a b^n=n\log_a b\) 15 \(\log_a \dfrac{b}{c}=\log_a b-\log_a c\)
8 \(m\log_a b=\log_a b^m\) 16 \(\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac{b}{c}\)