Помощник по Физике.
PHYSICS
Формулы, теория.

МЕХАНИКА

Механика изучает движение тел и их взаимодействие. Она делится на кинематику (описание движения) и динамику (причины движения).

Кинематика — определения и формулы

Определение

Кинематика — раздел механики, изучающий геометрию движения тел (траекторию, перемещение, путь, скорости, ускорения) без рассмотрения причин (сил), его вызывающих.

Основные величины

  • Позиция (радиус-вектор): $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$
  • Перемещение: $\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$
  • Путь — длина траектории (скаляр), обычно обозначается $S$
  • Скорость (мгновенная): $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$. Компонентно: $v_x = \frac{dx}{dt}$, и т.д.
  • Ускорение: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$. Компонентно: $a_x = \frac{d^2x}{dt^2}$.

Прямолинейное движение — основные формулы

Равномерное ($v = \text{const}$):

$$S = v t, \quad x(t) = x_0 + v t$$

Равноускоренное ($a = \text{const}$):

$$v(t) = v_0 + a t$$ $$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$ $$v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0)$$
Вывод формулы $v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$

Из $v = v_0 + a t$ и $x - x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$: выразим $t = \frac{v - v_0}{a}$ и подставим; получим $v^2 - v_0^2 = 2 a (x - x_0)$.

Свободное падение / бросок

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.81 \text{ м/с}^2$ (вблизи поверхности Земли).

Вертикальное движение (вдоль оси $y$, вверх положительный):

$$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$$ $$v_y(t) = v_{0y} - g t$$

Движение под углом (пуля/брошенный под углом $\alpha$)

Разложение начальной скорости: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha, \quad v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

$$x(t) = x_0 + v_0 \cos\alpha \cdot t$$ $$y(t) = y_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$$

Дальность полёта, высота и время полёта — стандартные выводы в задачах ЕГЭ.

Криволинейное движение, движение по окружности

Угловая скорость: $\omega = \frac{d\varphi}{dt}$. Связь линейной и угловой скоростей: $v = \omega R$.

Центростремительное ускорение:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$
Полное ускорение точки в плоскости (радиальная + тангенциальная)

Если скорость меняет модуль и направление, ускорение разлагается на тангенциальную компоненту ($a_\tau = \frac{dv}{dt}$) и нормальную (центростремительную) $a_n = \frac{v^2}{R}$. Векторно: $\vec{a} = a_\tau \hat{\tau} + a_n \hat{n}$.

Динамика — силы и законы движения

Определение

Динамика изучает причины движения — силы, моменты сил и их влияние на изменение скорости / состояния тел.

Масса и плотность

Масса $m$ — мера инертности тела. Плотность: $\rho = \frac{m}{V}$.

Основные законы (Ньютона)

  • Первый закон (инерции): тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют внешние силы или равнодействующая равна нулю.
  • Второй закон: $\vec{F}_{\text{net}} = m \vec{a}$ (векторно). Для материальной точки: $F = m a$.
  • Третий закон: силы взаимодействия пар равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$.

Сложение сил (принцип суперпозиции)

Равнодействующая нескольких сил — векторная сумма: $\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots$.

Сила тяжести и закон всемирного тяготения

Сила тяжести (силы, действующие на тело в поле планеты): $F_g = m g$ (на поверхности Земли, примерно).

Закон всемирного тяготения между точечными массами $m_1$ и $m_2$, удалёнными на $R$:

$$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}$$

где $G \approx 6.674\cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$.

Сила упругости (закон Гука)

$$F_{\text{упр}} = - k x$$

где $k$ — **жёсткость**, $x$ — **удлинение** (относительно положения равновесия).

Сила трения

Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu_k N$. Сила трения покоя: $F_{\text{тр}} \leq \mu_s N$.

Здесь $N$ — **нормальная реакция опоры**, $\mu_k$, $\mu_s$ — коэффициенты трения скольжения и покоя.

Сила давления (механика сплошных сред)

$$p = \frac{F}{S}$$
Замечание о знаках и направлениях

Вектора сил учитывают направление; при суммировании в декартовой системе используйте компоненты. При динамических задачах часто удобно работать в проекциях вдоль осей или вдоль тангенциальной и нормальной направлений при криволинейном движении.

Статика — равновесие тел

Определение

Статика изучает состояния равновесия тел и условия, при которых равнодействующая всех сил и суммарный момент сил равны нулю.

Условия равновесия (в инерциальной системе отсчёта)

$$\sum \vec{F} = 0 \quad (\text{сумма всех векторных сил} = 0)$$ $$\sum \vec{M} = 0 \quad (\text{сумма моментов сил} = 0)$$

Момент силы

$$M = F \cdot l$$

где $l$ — **плечо силы** (перпендикулярное расстояние от линии действия силы до точки/оси вращения).

Центр масс / центр тяжести

Координаты центра масс системы частиц:

$$\vec{r}_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$$

В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.

Условие устойчивости

Тело устойчиво, если вертикальная проекция центра тяжести лежит внутри опорной поверхности.

Давление, жидкости и архимедова сила

Давление

$$p = \frac{F}{S}$$

Давление в жидкостях в покое

$$p = p_0 + \rho g h$$

где $p_0$ — давление на поверхности, $\rho$ — плотность жидкости, $h$ — глубина.

Закон Паскаля

Давление, передающееся в закрытой жидкости, одинаково во всех направлениях и передаётся полностью.

Закон Архимеда (выталкивающая сила)

$$F_{A} = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$$

Если тело полностью погружено: $F_A = \rho_{\text{ж}} g V$. Условие плавания: $F_A = m g \Rightarrow \rho_{\text{ж}} V = m$.

Механические колебания

Условия и формулы для гармонических колебаний (период, частота, амплитуда).

Механические волны и звук

Формулы для скорости волны, длины волны, частоты и интенсивности звука.

Законы сохранения в механике

Импульс

Импульс материальной точки: $\vec{p} = m \vec{v}$.

Импульс системы тел: векторная сумма импульсов всех тел: $\vec{P} = \sum \vec{p}_i$.

Закон изменения и сохранения импульса

$$\sum \vec{F}_{\text{внешн}} = \frac{d\vec{P}}{dt}$$

Если внешние силы отсутствуют (или их результант $= 0$), то импульс системы сохраняется: $\vec{P} = \text{const}$.

Работа и кинетическая энергия — связь через теорему о работе и энергии

$$\text{Работа силы: } d A = \vec{F} \cdot d\vec{r}$$ $$A = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$$

Кинетическая энергия материальной точки:

$$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2$$

Теорема об изменении кинетической энергии (работа — энергия):

$$\Delta E_{\text{кин}} = A_{\text{всех сил}}$$

Потенциальная энергия

В однородном поле тяжести: $E_{\text{пот}} = m g h$.

Упругая потенциальная энергия (пружина): $E_{\text{пот},\text{упр}} = \frac{1}{2} k x^2$.

Закон сохранения механической энергии

$$E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}}$$ $$\text{Если } A_{\text{непотенц.}} = 0, \text{ то } E_{\text{мех}} = \text{const.}$$
Реактивное движение

Для систем с изменяющейся массой (например, ракета) импульс системы учитывается с учётом выбрасываемых масс; классическая формула Циолковского даёт изменение скорости при выбросе массы при заданной относительной скорости $v_e$: $\Delta v = v_{e} \ln \left(\frac{m_0}{m}\right)$ — см. спец. разделы.

Работа, мощность, энергия — формулы

Работа

$$A = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$$

Для постоянной силы и перемещения вдоль направления силы: $A = F s \cos \alpha$.

Мощность

$$P = \frac{dA}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos \alpha$$

Закон Джоуля — Ленца (тепловая работа тока)

$$Q = I^2 R t = U I t$$

Энергетические выражения

$$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2$$ $$E_{\text{пот},\text{грав}} = m g h$$ $$E_{\text{пот},\text{упр}} = \frac{1}{2} k x^2$$
Преобразования энергии и энергодиаграммы (советы для задач)

При решении задач удобно составлять «баланс» энергий: начальные (кинетическая + потенциальная + упругая) = конечные + потери (на трение, тепло) + работа внешних непотенциальных сил.

Полезные заметки и часто используемые формулы

  • Составные движения: анализ по проекциям; выбирать систему координат, удобную для задачи.
  • При решении динамических задач выписывать все силы (включая нормаль, трение, упругость, силу тяжести) и проецировать уравнение $\vec{F} = m \vec{a}$ в нужных направлениях.
  • Для задач с переменными силами записывать работу как интеграл: $A = \int F(x) dx$.
  • Единицы: в СИ — масса (кг), длина (м), время (с), сила (Н), энергия (Дж), мощность (Вт).

Краткий список формул (шпаргалка)

  • Перемещение: $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$
  • Скорость: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
  • Ускорение: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
  • Равномерное движение: $S = v t$
  • Равноускоренное: $v = v_0 + a t; \quad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2; \quad v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$
  • Свободное падение: $v = v_0 \pm g t; \quad y = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$
  • Круговое движение: $v = \omega R; \quad a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$
  • Ньютон: $\vec{F} = m \vec{a}$
  • Гравитация: $F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}$
  • Закон Гука: $F = - k x$
  • Трение: $F_{\text{тр}} \leq \mu_s N; \quad F_{\text{тр},\text{скольж.}} = \mu_k N$
  • Давление: $p = \frac{F}{S}; \quad p = p_0 + \rho g h$
  • Закон Архимеда: $F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$
  • Импульс: $\vec{p} = m \vec{v}$
  • Работа: $A = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}; \quad A = F s \cos \alpha$
  • Кинетическая энергия: $E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2$
  • Потенциальная (гравитац.): $E_{\text{пот}} = m g h$
  • Потенциальная (упругая): $E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2$
  • Теорема: $\Delta E_{\text{кин}} = A_{\text{всех сил}}$
  • Мощность: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

Молекулярная физика и термодинамика

Раздел включает понятия о строении вещества, молекулярно-кинетическую теорию (МКТ), свойства идеального газа, тепловые процессы и законы термодинамики.

Основные определения

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ)

Основные положения МКТ

  1. Все вещества состоят из частиц — молекул.
  2. Молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.
  3. Молекулы взаимодействуют между собой силами притяжения и отталкивания.

Основное уравнение МКТ

$$p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$$

где $\rho$ — плотность газа, $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости молекул.

Связь давления и средней кинетической энергии

$$p = \frac{2}{3} n \langle E_{\text{кин}} \rangle$$

Средняя кинетическая энергия одной молекулы:

$$\langle E_{\text{кин}} \rangle = \frac{3}{2} k T$$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Вывод через удар молекулы по стенке

Используется изменение импульса при ударе, количество ударов за время и статистика направлений движения молекул. Отсюда получается формула $p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$.

Скорости молекул (распределение Максвелла)

Идеальный газ. Уравнение состояния

Основное уравнение идеального газа

$$p V = \nu R T$$

где $\nu = \frac{N}{N_A}$, $R \approx 8.31 \text{ Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$.

Форма через число молекул $N$

$$p V = N k T$$

Уравнение Клапейрона–Менделеева

$$p V = \frac{m}{\mu} R T$$

Газовые законы

1. Изотермический процесс ($T = \text{const}$)

$$p V = \text{const}$$

2. Изобарный процесс ($p = \text{const}$)

$$\frac{V}{T} = \text{const}$$

3. Изохорный процесс ($V = \text{const}$)

$$\frac{p}{T} = \text{const}$$

4. Обобщённый газовый закон

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Влажность

Относительная влажность

$$\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}} \cdot 100\%$$

где $p$ — парциальное давление водяного пара.

Точка росы

Температура, при которой водяной пар становится насыщенным.

Агрегатные состояния и тепловые эффекты

Количество теплоты при нагревании/охлаждении

$$Q = c m \Delta T$$

где $c$ — удельная теплоёмкость.

Плавление и кристаллизация

$$Q = \lambda m$$

$\lambda$ — удельная теплота плавления.

Парообразование и конденсация

$$Q = L m$$

$L$ — удельная теплота парообразования.

Уравнение теплового баланса

$$\sum Q_{\text{получ.}} = \sum Q_{\text{отд.}}$$

Первый закон термодинамики

Формулировка

$$Q = \Delta U + A$$

Где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа газа.

Работа газа

$$A = \int p dV$$

Для изобарного процесса

$$A = p (V_2 - V_1)$$

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа

$$U = \frac{3}{2} \nu R T$$
Производные формулы U (двух- и трёхатомные газы)

$U = \frac{f}{2} \cdot \nu R T$, где $f$ — число степеней свободы (3 — одноатомный, 5 — двухатомный при малых $T$, 6 — трёхатомный).

Второй закон термодинамики

Необратимость процессов

Теплота самопроизвольно переходит от более горячего тела к более холодному.

КПД тепловых машин

$$\eta = \frac{A}{Q_{\text{нагр}}} = \frac{Q_{\text{нагр}} - Q_{\text{хол}}}{Q_{\text{нагр}}}$$

Максимальный КПД (цикл Карно)

$$\eta_{\text{макс}} = 1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}$$

Основные термодинамические процессы и их свойства

Изотермический ($T = \text{const}$)

Изохорный ($V = \text{const}$)

Изобарный ($p = \text{const}$)

Адиабатный процесс ($Q = 0$)

$$p V^\gamma = \text{const}$$

Для одноатомного газа $\gamma = \frac{5}{3}$.

Вывод адиабаты (углублённо)

Используется первый закон термодинамики ($Q = 0$) и выражение для $\Delta U$. Получается связь $p V^\gamma = \text{const}$ и $T V^{\gamma-1} = \text{const}$.

Шпаргалка. Все ключевые формулы раздела

Электродинамика

Раздел включает электрическое поле, законы постоянного тока, магнитное поле, электромагнитную индукцию, электромагнитные колебания, волны и основы оптики.

Электростатика

Основные величины

  • Электрический заряд — мера электрических свойств тела: $q$
  • Закон сохранения заряда: сумма зарядов замкнутой системы неизменна.
  • Кулоновская постоянная: $k \approx 9\cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$

Закон Кулона

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

Напряжённость электрического поля

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$$

Для точечного заряда:

$$E = k \frac{q}{r^2}$$

Потенциальная энергия и потенциал

$$W = k \frac{q_1 q_2}{r}$$ $$\varphi = \frac{W}{q} = k \frac{q}{r}$$

Связь напряжённости и потенциала

$$\vec{E} = - \text{grad} \, \varphi$$

Работа поля

$$A = q (\varphi_1 - \varphi_2)$$

Разность потенциалов (напряжение)

$$U = \varphi_1 - \varphi_2$$
Потенциальность электростатического поля (углублённо)

Циркуляция поля по замкнутому контуру равна нулю: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$. Поэтому работу можно вычислять только через разность потенциалов.

Плоский конденсатор

$$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$$

Заряд: $q = C U$. Энергия:

$$W = \frac{1}{2} C U^2$$

Комбинации конденсаторов

Последовательно:

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$$

Параллельно:

$$C = C_1 + C_2 + \dots$$

Электрический ток

Определения

  • Сила тока: $I = \frac{q}{t}$.
  • Плотность тока: $j = \frac{I}{S}$.
  • Напряжение: $U = \frac{A}{q}$.
  • Сопротивление: $R$.

Закон Ома (основной)

$$I = \frac{U}{R}$$

Закон Ома для участка цепи

$$I = \frac{U - \varepsilon}{R}$$

Закон Ома для полной цепи

$$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$$

$r$ — внутреннее сопротивление источника.

Мощность электрического тока

$$P = U I = I^2 R = \frac{U^2}{R}$$

Тепловое действие тока (Джоуля–Ленца)

$$Q = I^2 R t$$

Комбинации сопротивлений

Последовательно:

$$R = R_1 + R_2 + \dots$$

Параллельно:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$$
Проводимость, удельное сопротивление $$R = \rho \frac{l}{S}$$

$\rho$ — удельное сопротивление, $\sigma = \frac{1}{\rho}$ — проводимость.

Магнитное поле

Основные величины

  • Магнитная индукция: $\vec{B}$
  • Сила Ампера
  • Сила Лоренца

Сила Ампера

$$F = B I l \sin \alpha$$

Сила Лоренца

$$F = q v B \sin \alpha$$

Индукция поля прямого тока

$$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$$

Индукция поля соленоида

$$B = \mu_0 n I$$

$n$ — число витков на единицу длины.

Момент сил на рамку с током

$$M = B I S \sin \alpha$$

Электромагнитная индукция

Закон Фарадея

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}$$

Магнитный поток

$$\Phi = B S \cos \alpha$$

Правило Ленца

Индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

Самоиндукция

$$\varepsilon = - L \frac{dI}{dt}$$

Энергия магнитного поля катушки

$$W = \frac{1}{2} L I^2$$
Физический смысл L (индуктивности)

$L$ характеризует способность проводника создавать магнитный поток при протекании тока.

Переменный ток

Напряжение и ток

$$U = U_0 \sin \omega t$$ $$I = I_0 \sin \omega t$$

Действующие значения

$$U_d = \frac{U_0}{\sqrt{2}}$$ $$I_d = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Импеданс элементов

  • Сопротивление: $Z_R = R$
  • Катушка: $Z_L = \omega L$
  • Конденсатор: $Z_C = \frac{1}{\omega C}$

Полный импеданс RLC-цепочки

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$$

Резонанс

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$$
Фазовые сдвиги (углублённо)

В индуктивности ток отстаёт на $90^\circ$, в конденсаторе опережает на $90^\circ$.

Электромагнитные колебания

Формула Томсона для периода колебаний в контуре:

$$T = 2 \pi \sqrt{L C}$$

Электромагнитные волны

Скорость распространения

$$c = \lambda \nu$$

Поперечность ЭМ-волн

Вектор $\vec{E}$, $\vec{B}$ и направление распространения взаимно перпендикулярны.

Энергия электромагнитной волны

$$I \propto c \varepsilon_0 E^2$$

(Пропорционально квадрату амплитуды поля)

Геометрическая и физическая оптика

Преломление света

$$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$$

Оптическая сила линзы

$$D = \frac{1}{f}$$

Формула тонкой линзы

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{F}$$

где $d$ — расстояние до предмета, $F$ — расстояние до изображения.

Увеличение линзы

$$\Gamma = - \frac{F}{d}$$

Зеркала

Для сферических зеркал формула аналогичная линзам.

Интерференция и дифракция (кратко)

  • Максимумы: $d \sin \theta = k \lambda$
  • Минимумы: $d \sin \theta = \left(k + \frac{1}{2}\right) \lambda$

Длина когерентности

$$L = c \tau$$
Пояснение про интерференцию

Интерференция — результат наложения волн. Нужны когерентные источники (одинаковая частота и постоянная разность фаз).

Шпаргалка: ключевые формулы раздела

  • $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
  • $E = k \frac{q}{r^2}$
  • $U = \varphi_1 - \varphi_2$
  • $q = C U, \quad W = \frac{1}{2} C U^2$
  • $I = \frac{U}{R}$
  • $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$
  • $P = U I = I^2 R = \frac{U^2}{R}$
  • $F = B I l \sin \alpha$
  • $F = q v B \sin \alpha$
  • $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
  • $\Phi = B S \cos \alpha$
  • $\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}$
  • $\varepsilon = - L \frac{dI}{dt}$
  • $U_d = \frac{U_0}{\sqrt{2}}, \quad I_d = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
  • $Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$
  • $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$
  • $c = \lambda \nu$
  • $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$
  • $D = \frac{1}{f}$
  • $\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{F}$
  • $d \sin \theta = k \lambda$

Квантовая физика. Физика атома и ядра

Раздел включает: планковские кванты, фотонную теорию света, фотоэффект, корпускулярно-волновой дуализм, модель Бора, линейчатые спектры, радиоактивность, ядерные реакции и законы распада.

Определения и основные понятия

Фотон. Фотоэффект

Квантовые соотношения

Формула Планка (энергия кванта):

$$E = h \nu$$

где $h \approx 6.626\cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$ — постоянная Планка, $\nu$ — частота.

Связь частоты и длины волны:

$$c = \lambda \nu \quad \Rightarrow \quad \nu = \frac{c}{\lambda}$$

Энергия фотона через длину волны:

$$E = \frac{h c}{\lambda}$$

Импульс фотона:

$$p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

Фотоэффект

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$$h \nu = A + K_{\text{max}}$$

где $A$ — работа выхода (пороговая энергия), $K_{\text{max}}$ — максимальная кинетическая энергия выбитого электрона.

Связь с тормозным (запирающим) напряжением:

$$K_{\text{max}} = e V_{\text{stop}}$$

где $e$ — заряд электрона, $V_{\text{stop}}$ — запирающее (стоп) напряжение.

Примечание и особенности

Фотоэффект демонстрирует квантацию излучения: кинетика фотоэлектронов зависит от частоты света, а не от его интенсивности — ключевой эксперимент в пользу квантовой природы света.

Корпускулярно-волновой дуализм

Явление, при котором микрочастицы (такие как электроны, протоны, атомы) проявляют как волновые, так и корпускулярные свойства.

Гипотеза де Бройля

Де-Бройль: частица с импульсом $p$ имеет связную волну с длиной

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

где для классической частицы $p = m v$ (в нерелятивистском случае).

Эффект Комптона (коротко)

Смещение длины волны мезонного фотона при столкновении с электроном:

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \theta)$$

где $m_e$ — масса электрона, $\theta$ — угол рассеяния фотона.

Строение атома

Модель Бора

Постулаты (кратко): электроны движутся по стационарным орбитам с квантованным угловым моментом; переход между орбитами сопровождается испусканием или поглощением фотона с энергией равной разности уровней.

Квантование углового момента:

$$m v r = n \hbar, \quad n = 1, 2, 3, \dots \quad \left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$$

Уровни энергии атома водорода

Энергетические уровни атома водорода (уровни Бора):

$$E_n = - \frac{13.6 \text{ эВ}}{n^2}$$

или в джоулях: $E_n = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2}$ (формула из Бора — можно использовать числовое значение $-13.6 \text{ эВ}$ для $n=1$).

Линейчатые спектры

Спектры, состоящие из дискретных линий, что объясняется квантованием энергетических уровней атома.

Энергия фотона при переходе между уровнями $n_i \to n_f$:

$$h \nu = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 \text{ эВ} \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$

Формула Ридберга

Формула для длины волны линий спектра (формула Ридберга)

Используется выражение:

$$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$

где $R \approx 1.097\cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$ — постоянная Ридберга.

Давление света на полностью поглощающую поверхность:

$$p = \frac{I}{c}$$

На полностью отражающую (отражение назад):

$$p = \frac{2 I}{c}$$

где $I$ — поток энергии (интенсивность).

Ядерная физика

Раздел посвящен структуре, свойствам и превращениям атомных ядер.

Строение ядра

Ядро состоит из протонов ($Z$) и нейтронов ($N = A - Z$). $A$ — массовое число.

Энергия связи. Дефект массы

Энергия массы (релятивистское отношение)

$$E = m c^2$$

Энергия связи и дефект массы

$$\Delta m = Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{ядра}}$$ $$E_{\text{связ}} = \Delta m c^2$$

Энергия связи на нуклон часто используется как показатель устойчивости ядра.

Ядерные реакции

Общая запись:

$$ {}^{A}_{Z}\text{X} + \text{частица} \to \text{продукты} + \text{энергия} $$

При ядерных реакциях учитывается сохранение зарядового числа и массового числа; часто высвобождается большое количество энергии.

Деление и синтез

Деление (Fission) — распад тяжёлого ядра на более лёгкие, сопровождающийся выделением энергии.

Синтез (Fusion) — слияние лёгких ядер в более тяжёлое, сопровождающееся выделением энергии (основа энергии Солнца).

Радиоактивность

Процесс самопроизвольного превращения ядер.

Типы распада: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$

  • $\alpha$-распад: эмиссия $\alpha$-частицы (ядро Helium): $$ {}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He} $$
  • $\beta^-$-распад (электронный): $$ {}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^{-} + \bar{\nu} $$
  • $\beta^+$-распад (позитронный): $$ {}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z-1}\text{Y} + e^{+} + \nu $$
  • $\gamma$-излучение: переход ядра в более низкое энерг. состояние с испусканием $\gamma$-фотона.

Закон радиоактивного распада

Две эквивалентные формы записи (часто используются обе):

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$ $$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$$

где $\lambda$ — константа распада, $T_{1/2}$ — период полураспада.

Период полураспада

Связь периода полураспада и константы распада:

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

Если рассматривают массу радиоактивного вещества $m(t)$, формулы имеют тот же вид:

$$m(t) = m_0 e^{-\lambda t} = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$$

Активность

$$A(t) = - \frac{dN}{dt} = \lambda N(t)$$

Единица активности: беккерель (Бк): $1 \text{ Бк} = 1 \text{ распад/с}$.

Замечание о применении формул

При расчётах радиоактивных цепочек и активности удобно работать в экспоненциальной форме; для задач с половинным периодом часто используют степень двойки $(2^{-\frac{t}{T_{1/2}}})$.

Элементы теории относительности

Постулаты Эйнштейна

  1. Принцип относительности: Законы физики инвариантны во всех инерциальных системах отсчета.
  2. Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета.

Замедление времени, сокращение длины

Замедление времени: $$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Сокращение длины: $$ L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$

Релятивистская энергия и масса

Полная энергия: $$ E = m c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Масса: $$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Кинетическая энергия: $$ E_k = E - m_0 c^2 = m_0 c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) $$

Справочник

Физические константы

  • Постоянная Планка ($h$): $6.626\cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
  • Скорость света ($c$): $2.9979\cdot 10^8 \text{ м/с}$
  • Число Авогадро ($N_A$): $6.022\cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
  • Постоянная Больцмана ($k$): $1.38\cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$
  • Универсальная газовая постоянная ($R$): $8.31 \text{ Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$
  • Гравитационная постоянная ($G$): $6.674\cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$
  • Кулоновская постоянная ($k$): $9\cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$
  • Элементарный заряд ($e$): $1.602\cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Единицы измерения (СИ)

  • Длина: метр (м)
  • Масса: килограмм (кг)
  • Время: секунда (с)
  • Сила: Ньютон (Н)
  • Энергия/Работа: Джоуль (Дж)
  • Мощность: Ватт (Вт)
  • Давление: Паскаль (Па)
  • Заряд: Кулон (Кл)
  • Ток: Ампер (А)
  • Напряжение: Вольт (В)
  • Сопротивление: Ом ($\Omega$)
  • Магнитная индукция: Тесла (Тл)

Приставки СИ (кило, микро, нано…)

  • Гига (Г): $10^9$
  • Мега (М): $10^6$
  • Кило (к): $10^3$
  • Санти (с): $10^{-2}$
  • Милли (м): $10^{-3}$
  • Микро (мк): $10^{-6}$
  • Нано (н): $10^{-9}$
  • Пико (п): $10^{-12}$

Полная таблица формул

Сводная таблица всех формул (перечисление как в шпаргалках выше, можно добавить таблицу).

Обозначения и их значения

Справочник обозначений.

Примеры задач

Секция с примерами задач для отработки материала.

Базовые задачи

Простые задачи на прямое применение формул.

Задачи формата ЕГЭ

Сложные, составные задачи, требующие применения нескольких законов и аналитического подхода.

▲